Ukuran Pemusatan (Mean-Modus-Median)

Rata-rata (average) adalah nilai yang mewakili himpunan atas sekelompok data ( a set of data ). Nilai rata-rata umumnya terletak di tengah suatu kelompok data yang disusun menurut besar/kecilnya nilai.

Contoh:

3,4,2,,5,6,9,7,13,15,36,29,16,35,32,27,47

Jika ada data seperti ini maka data harus diurutkan terlebih dahulu,menjadi:

2,3,4,5,6,7,9,13,15,16,27,29,32,35,36,47

X_{1 =}  statistik minimum
Xn = statistik maksimum

Banyaknya data yang diamati sama dengan N, maka nilai N disebut ukuran kumpulan data (populasi).

Nilai rata-rata memiliki kecenderungan memusat, sehingga disebut juga ukuran kecenderungan memusat ( measures of central tendency ). Beberapa jenis rata-rata tersebut yang sering dipergunakan ialah Rata-rata Hitung (arithmetic mean atau sering disingkat mean saja), Rata-rata Ukur ( geometric mean ), dan Rata-rata Harmonis ( harmonic mean ).

A.    MEAN /RATA-RATA

1.      Rata-Rata Hitung

Rata-rata (mean) adalah ukuran pemusatan lokasi yang banyak digunakan dalam statistika. Ukuran ini mudah dengan memanfaatkan semua data yang dimiliki.Namun demikian kekurangan dari ukuran pemusatan rata-rata ini sangat dipengaruhi nilai ekstrim.

Penghitungan rata-rata dilakukan dengan menjumlahkan seluruh nilai data suatu kelompok sampel, kemudian dibagi dengan jumlah sampel tersebut. Jadi jika suatu kelompok sampel acak dengan jumlah sampel n, maka bisa dihitung rata-rata dari sampel tersebut dengan rumus sebagai berikut.

Keterangan:
 = rata-rata hitung
xi = nilai sampel ke-i
n = jumlah sampel

* Rata-Rata Sementara

Menghitung nilai rata-rata dapat dilakukan dengan menggunakan rata-rata sementara.Rata-rata hitung yang diperoleh dari jumlah rata-rata sementara dan simpangan rata-rata dirumuskan:

Keterangan:
 = rata-rata hitung
 s= rata-rata hitung sementara
xi = nilai sampel ke-i
fi = frekuensi ke-i
n = jumlah sampel

* Rata-Rata Tertimbang.

Rata-rata tertimbang/terbobot (weighted average) adalah rata-rata yang dihitung dengan memperhitungkan timbangan/bobot untuk setiap datanya. Setiap penimbang/bobot tersebut merupakan pasangan setiap data.

Rumus rata-rata tertimbang/terbobot adalah sebagai berikut.

 

Keterangan:

 = rata-rata tertimbang

xi = nilai data ke-i

wi = bobot data ke-i

n = jumlah data

* Rata-Rata Gabungan

Misalkan ada n buah populasi terhingga dengan ukuran populasi f₁,f₂,……,fn maka akan mempunyai rata-rata populasi maka rata-rata gabungan dari semua populasi adalah:

Keterangan:
 = rata-rata hitung
xi = nilai sampel ke-i
fi = frekuensi ke-i
n = jumlah sampel

B. MEDIAN

Median adalah nilai tengah dari data yang telah disusun berurutan mulai dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar. Secara matematis median dilambangkan dengan Me yang dapat dicari dengan cara sebagai berikut.

Median untuk jumlah data (n) ganjil

Median untuk jumlah data (n) genap

Keterangan:

Me = Median

n = jumlah data

x = nilai data

C. MODUS

Modus adalah nilai yang memiliki frekuensi terbanyak dalam seperangkat data. Modus untuk data yang disusun dalam bentuk kelas interval (data berkelompok) bisa ditentukan berdasarkan nilai tengah kelas interval yang memiliki frekuensi terbanyak.

Namun nilai yang dihasilkan dari nilai tengah kelas interval ini adalah nilai yang kasar. Nilai modus yang lebih halus bisa diperoleh dengan menggunakan rumus di bawah ini.

Mo = modus

b = batas bawah kelas interval dengan frekuensi terbanyak

p = panjang kelas interval

b1 = frekuensi terbanyak dikurangi frekuensi kelas sebelumnya

b2 = frekuensi terbanyak dikurangi frekuensi kelas sesudahnya

D. HUBUNGAN RATA-RATA, MEDIAN DAN MODUS

Pada suatu distribusi frekuensi, hubungan antara rata-rata, median dan modus adalah sebagai berikut.

1. Jika rata-rata, median dan modus memiliki nilai yang sama, maka nilai rata-rata, median dan modus akan terletak pada satu titik dalam kurva distribusi frekuensi. Kurva distribusi frekuensi tersebut akan terbentuk simetris.
2. Jika rata-rata lebih besar dari median, dan median lebih besar dari modus, maka pada kurva distribusi frekuensi, nilai rata-rata akan terletak di sebelah kanan, sedangkan median terletak di tengahnya dan modus di sebelah kiri. Kurva distribusi frekuensi akan terbentuk menceng ke kiri.
3. Jika rata-rata lebih kecil dari median, dan median lebih kecil dari modus, maka pada kurva distribusi frekuensi, nilai rata-rata akan terletak di sebelah kiri, sedangkan median terletak di tengahnya dan modus di sebelah kanan. Kurva distribusi frekuensi akan terbentuk menceng ke kanan.
4. Jika kurva distribusi frekuensi tidak simetris (menceng ke kiri atau ke kanan), maka biasanya akan berlaku hubungan antara rata-rata median dan modus sebagai berikut.Rata-rata – Modus = 3 (Rata-rata – Median)

Source

Dapat Dilihat di
Ukuran Pemusatan (Mean-Modus-Median)
http://12puby.blogspot.com/2012/04/ukuran-pemusatan-statistik-dasar.html (file DOC)
http://f-blue.blogspot.com/2011/04/ukuran-pemusatan.html

Catatan:
MEAN (Rumus)
MEDIAN (Rumus)
MODUS (Rumus)